因数分解の効果

因数分解 数学_物理_化学

 因数分解とは数や式を、いくつかの数や式の積で表すことです。例えば

30 = 2 \times 3 \times 5(素因数分解)
\begin{align*}
x^2 - 3x - 4 &= (x + 1)(x - 4) \\
x^3 - 6 x^2 + 11x - 6 &= (x - 1)(x - 2)(x - 3)
\end{align*}

 因数分解をする主な場面は中学校では2次方程式を解くときです。つまり、いくつかの式を掛けると0になるということは、そのうち少なくとも1つが0であるということです。

 他にも、式の値を求めるときに因数分解が役立ちます。x=48におけるx^2 - 3x - 4の値を求めるとき、この形のまま求めようとすると

48 \times 48 - 3 \times 48 - 4
  • 掛け算 2回
  • 足し算または引き算 2回

因数分解して(x + 1)(x - 4)とすると

(48 + 1) \times (48 - 4)
  • 掛け算 1回
  • 足し算または引き算 2回

掛け算が2回から1回になります。足し算、引き算の桁数が減ることも多いので因数分解する方が楽にできます。

 当塾では最短の方法を探すことに時間を費やすのではなく少し遠回りでもやり切れと教えていますが、計算は工夫した方がいいです。数値計算では部分的にでも因数分解したり平方完成する方が速く、楽に、正確にできます。

 コンピュータに計算させるときも因数分解する方が速く計算できます。計算時間は大体、掛け算の回数で決まります。(割り算はもっと時間がかかります。)例に挙げたx^2 - 3x - 4をこのまま計算するのと因数分解して(x + 1)(x - 4)とするのとでは掛け算の回数が半分になりますからこの部分の計算時間も大体半分になります。大学院生だったときの経験でいうとある膨大な計算を1晩に1回しかできないか、条件を変えて2パターン試せるかの違いになります。

 因数分解には勘が必要なようにも感じられますが当塾では因数分解の□則として教えています。(□には数が入ります。)これを順に試せばできます。

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