場合分けして線分図で統合(東工大)

東工大 数学 解法ハイライト_大学受験
線分図で統合

問題

(1) |x^2 - x - 23|の値が、3を法として2に合同である正の整数xをすべて求めよ。
(2) k個の連続した正の整数x_1, \cdots , x_kに対して

|x_j^2 - x_j - 23|\hspace{18px}(1\leqq j \leqq k)

の値がすべて素数になるkの最大値と、そのkに対する連続した正の整数x_1, \cdots , x_kをすべて求めよ。ここでk個の連続した整数とは

x_1, x_1+1, x_1+2, \cdots , x_1 + k - 1

となる列のことである。

解答概略

 (1) はヒントのようです。|x^2 - x - 23|の値を3を法として0, 1, 2に分ければ (2) は行けるのではないか。

 ある解答ではいきなり, 1 \leqq x \leqq 5x \geqq 6に場合分けしています。こういうのは自分で補わなければなりません。

 さて、ある解答では (2) でx \geqq 8のときから始めていますが答を知っていなければできないと思います。

 |x^2 - x - 23|の値を3を法として0, 1, 2に分けます。絶対値の扱いを含めて次の6通りに分けます。mを0以上の整数として

  1. x^2 - x - 23 = 3m + 2
  2. x^2 - x - 23 = - (3m + 2)
  3. x^2 - x - 23 = 3m + 1
  4. x^2 - x - 23 = - (3m + 1)
  5. x^2 - x - 23 = 3m
  6. x^2 - x - 23 = - 3m

 この場合分けは減らすこともできますが、得られる情報は減ります。問題によっては解けないかもしれません。分ける方が考えやすいです。

 絶対値記号の中のx^2 - x - 23の正負で分けると1 \leqq x \leqq 5x \geqq 6になります。

 また、3を法として1, 2である負の整数の絶対値はそれぞれ、3を法として2, 1であることに注意。

 |x^2 - x - 23|の値が素数になる場合だけ考えますので5, 6は結局x^2 - x - 23 = \pm 3になります。

 個々の場合から得られたxを統合します。次の線分図上の黒丸は|x^2 - x - 23|の値が3, または3を法として1, 2であるxの値を表します。

東工大 数学
線分図で統合

 あとはx = 3, 4, 5, 6, 7の5連続かと期待して、|x^2 - x - 23|の値が素数であるかどうかを調べます。

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