回転体の体積(産業医大)

産業医大 回転体 1 解法ハイライト_大学受験

問題

曲線y = x^2 - x \quad (0 \leqq x \leqq 2)と直線y = xで囲まれた部分を直線y = xの周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答概略

 3通り考えました。この問題は皆さんが持っている教科書傍用の問題集に載っているかもしれません。模範解答に載っているのは1番目でしょう。ただ、積分するときの薄い円柱の厚さを求めるところは難しいです。2, 3番目は円柱の厚さと半径を分かりやすく求められます。

 計算は全体としては1がわずかに容易です。考え込む時間を含めると2, 3番目もいいのではないでしょうか。

1. 放物線上の点を(t, t^2 - t)とおく。

産業医大 回転体 1

 直角二等辺三角形の辺の比により図中のrltで表して

\int_{t = 0}^{t = 2} \pi r^2 dl = \pi \int_0^2 \left(\frac{2t - t^2}{\sqrt{2}}\right)^2 (\sqrt{2} t) dt = \cdots

2. 直線上の点を(t, t)とおく。

産業医大 回転体 2

 直線y = xに垂直で点(t, t)を通る直線と放物線の交点を求め、直角二等辺三角形の辺の比か点と直線の距離の公式によりrを求めます。また、l = \sqrt{2} tと表されることから

\int_{t = 0}^{t = 2} \pi r^2 dl = \pi \int_0^2 \left\{\sqrt{2} (\sqrt{2t} - t)\right\}^2 \sqrt{2} dt = \cdots

3. 長さlを用いて円柱の半径を表す

産業医大 回転体 3

 長さlを用いると直線y = x上の点は(\frac{l}{\sqrt{2}}, \frac{l}{\sqrt{2}})と表されます。2番目と同様に進めて

\int_0^{2\sqrt{2}} \pi r^2 dl = \pi \int_0^{2\sqrt{2}} \left\{\sqrt{2} \left(2^\frac{1}{4}\sqrt{l} - \frac{l}{\sqrt{2}}\right)\right\}^2 dl = \cdots
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