別解で見えること

　2つの例を紹介します。1つ目。

　一般には昨年度の男子、女子の人数をそれぞれx, yとします。これは, 5%, 6%は昨年度に対してだからです。

　では、本年度の男子、女子の人数をそれぞれx, yとするとどうでしょうか。本年度の人数を求めよといわれているので本年度の人数をx, yとする方が自然に思えます。

　これはできなくはありません。推奨はしません。しかし、やらないのは勿体ない。連立方程式を正しく作れるかどうかやってみてください。そして、止まらずに解けるでしょうか。

　そこでどう工夫するかが、より難しい問題を解く時に役立ちます。（連立方程式の解き方がまたいくつか考えられます。）本当の技術は一般的な（比較的容易な）方法で解くだけでは得られません。「こうやってもできるのか？」という好奇心と、実際にやってみるということです。

　もう1つ。

一般には合金Aと合金Bの質量をそれぞれx [g], y [g] として、「700g」「900g」に注目して

\begin{cases}
\frac{4}{5}x + \frac{7}{10}y = 700 \\
x + y = 900
\end{cases}

を解きます。しかし、鉛に注目することもできます。そうすると

\frac{1}{5}x + \frac{3}{10}y = 200

という方程式も作れます。さて、未知数2個に対して方程式が3本？ということになります。

\begin{cases}
\frac{4}{5}x + \frac{7}{10}y = 700 \\
\frac{1}{5}x + \frac{3}{10}y = 200 \\
x + y = 900
\end{cases}

実は3本のうち2本を加減すると残りの1本が得られます。つまり見た目には3本でも中身は2本です。3本のうちどの2本を選んで解いても同じ結果になります。これは大学で習う「線形代数」に発展します。