格子点の個数「それらしく」描く(宮崎大 医学部)

宮崎大 医学部 解法ハイライト_大学受験

問題

 座標平面において, x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。nを自然数とし、連立不等式

\begin{cases}
x \geqq y^2 \\
x + y \leqq n (n + 1)
\end{cases}

の表す領域をD_nとする。また, D_nに含まれる格子点の個数をa_nとする。・・・

(1) 領域D_2を座標平面上に図示し, a_2を求めよ。
(3) a_{n+1} - a_nを, nを用いて表せ。

図のポイント

(1) 放物線の形、直線の傾きと位置、放物線と直線の交点の位置を「それらしく」描きます。x方向、y方向それぞれにおいて「1」に対応する長さを等しく描きたいのですがピッタリには描けません。

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どうしても騙し騙し描くわけですが、その中で格子点があるべきところを慎重に描くと格子点の個数は数えられます。

(3) 各点の座標をnで表して図に書き入れます。書き入れることで見えてきます。

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