2次方程式の解の公式

2次方程式の解の公式 数学_物理_化学

 埼玉県公立高校の入試に2次方程式の解の公式を導けという問題が出たことがありました。教科書にも載っていますが、本当は大変なところを上手くよけています。ただ、実際の入試問題ではそれに似た場面に正面から挑まなければならないことがあります。そこで2次方程式の解の公式を導きます。

 対象とする2次方程式を

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

とします。平方完成すると

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

この先はb^2 - 4ac \geqq 0とします。ここからが問題です。教科書では\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}の平方根を考えることにより即

x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

としていますがこの間が大事です。\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}の平方根は

\pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\sqrt{a^2}}

ここで\sqrt{a^2} = aとしてはなりません。aは負にもなりますから\sqrt{a^2} = |a|です。aの正負で場合分けになります。

a > 0のとき

\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\sqrt{a^2}} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

a < 0のとき

\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\sqrt{a^2}} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2(-a)} = \mp \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

最後が\pm\mpの違いになりますが実質同じです。それでaが正でも負でも

x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

になります。正の平方根と負の平方根を表す\pmのおかげでaが正でも負でも偶然に同じ形になります。

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

 難しい問題では場合分けをすることがよくあります。分けることで鮮明に見えてきます。

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