複素数平面上の三角形の面積(昭和大 医 2019年)

昭和大_2019年_数学 教材例_大学受験

問題

複素数平面上の点z_0=x_0+iy_0を考える。またz_0を極形式で表した場合の絶対値をr, 偏角を\theta_0とし, \theta0<\theta\leqq\frac{\pi}{2}である定数とする。原点Oを中心とし, 点z_0を正の向きに角\theta(ラジアン)回転させた点とOを結ぶ線分を1 : 2に内分する点をz_1=x_1+iy_1とする。次にOを中心とし, 点z_1を正の向きに角\theta回転させた点とOを結ぶ線分を1 : 2に内分する点をz_2=x_2+iy_2とする。以下同様にし, 点z_n=x_n+iy_nを定める。このとき, 次の問いに答えよ。

(1) z_nr, \theta_0, \thetaおよびnを用いて表せ。
(2) z_{n+1}-z_n=t(z_1-z_0)tは実数)となるような正の整数nがあるとき, nを求めよ。
(3)z_0, z_1,\cdots, z_nの実部をx座標, 虚部をy座標としたxy平面上の点を\mathrm{P}_0 (x_0, y_0), \mathrm{P}_1 (x_1, y_1),\cdots, \mathrm{P}_n (x_n, y_n)とする。\triangle\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}\mathrm{P}_{n+2}の面積をS_nとするとき, 無限級数\sum_{n=0}^\infty S_nの和をr, \thetaを用いて表せ。

解答

内分や三角形の面積とあることからz_0\neq 0としてよいでしょう。
(2) は問題に「ntで表せ」と書いてほしいと思います。
(3) は三角形の面積の加減でもできますがS=\frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|が思い浮かびました。x座標, y座標をそのまま使うととても計算できませんのでまずz_{n+2}-z_{n+1}z_n-z_{n+1}の共通因数を取り去り、拡大縮小して調整します。

次の例でe^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}です。毎回\cos{\theta}+i\sin{\theta}と書かずに済みます。電気工学ではr\angle\thetaという書き方もあります。結果だけを答える場合や下書きとしての計算には使えます。

(2) で実数tと正の整数nの存在を前提とするなら

t = \left(\frac{2}{3}\right)^n e^{in\theta}

の両辺の絶対値をとることにより

|t| = \left(\frac{2}{3}\right)^n

とすることもできます。例のように求めると\frac{\theta}{\pi}は有理数であることが分かります。

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