区分求積法か長方形近似か(東工大 2021年)

東工大_2021年_数学_1 教材例_大学受験

問題

正の整数に関する条件
(*)10進法で表したときに, どの位にも数字9が現れない
を考える。以下の問いに答えよ。

(1) kを正の整数とするとき, 10^{k-1}以上かつ10^k未満であって条件(*)を満たす正の整数の個数をa_kとする。このとき, a_kkの式で表せ。
(2) 正の整数nに対して,

b_n=\begin{cases}
\frac{1}{n}\quad (nが条件(*)を満たすとき)\\
0\quad (nが条件(*)を満たさないとき)
\end{cases}

とおく。このとき, すべての正の整数kに対して次の不等式が成り立つことを示せ。

\sum_{n=1}^{10^k-1}b_n < 80

解答

(2) 区分求積法で\sum\frac{1}{n}の部分を見積もるとそれが定数として残ってしまい、辺々を加えると定数\times kとなって押さえられません。ここで方針を変えなければなりません。長方形近似\left(\frac{1}{10^{k-1}}\times a_k\right)では見積もりが粗く上手くいかない気がしますが9が現れない数の個数を考慮すると0<公比<1の等比数列の和になって押さえられます。

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