書き出して規則性を探る(明治大 2020年)

明治大_2020_数学_2_c 教材例_大学受験

問題

※問題文を穴埋め形式から「表せ」に変えてあります。

cを実数の定数とし,

a_1=0,\quad a_{2n}=a_n+c,\quad a_{2n+1}=a_n+1-c\quad (n=1,2,3,\dots)

で定まる数列\{a_n\}を考え, この数列を次のように1個, 2個, 4個, 8個, …の項からなる群に分ける。

a_1|a_2,a_3|a_4,a_5,a_6,a_7|a_8,\cdots,a_{15}|a_{16},\cdots

すなわち, k=1,2,3,\cdotsに対し, 第k群は2^{k-1}個の項からなる。たとえば, 第3群の左端はa_4, 右端はa_7であり, 4個の項からなる。

(1) a_8, a_{15}, a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{35}cの式で表せ。
(2) a_nが第k群の右端であるとき, nkの式で表せ。また, a_nkcの式で表せ。
(3) 第k群に含まれるすべての項の和をT_kとする。T_{k+1}-2T_kkの式で表せ。さらに数列\{\frac{T_k}{2^k}\}を考えることにより, 数列\{T_k\}の一般項を求めよ。

解答

(1) \{a_n\}の一般項は求められそうにありません。三十何番目なんて大変だなと思いつつ初項から順に求めてみるとa_{2^k}a_{2^k-1}は容易に表せることが分かります。

  • a_{32},a_{33}a_{16}から求められる。
  • a_{16}=4c
  • a_{34},a_{35}a_{17}から求められる。
  • a_{17}a_8から求められる。

これでa_{32}からa_{35}の和を求められます。

(2) (3) は (1) と同様に求められます。

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