入出力の関係を捉える(京大理学部特色 2021年)

kyotoku_2021_m_3 教材例_大学受験

問題

以下の条件 (i), (ii), (iii) を満たす実数の列x_1, x_2, \dots , x_{1000}は存在するか。
(i) x_1 = \frac{1}{2}
(ii) k=2, 3, \dots , 1000に対し, x_k

\frac{x_{k-1}+99}{100}, \qquad -\frac{100x_{k-1}}{99x_{k-1} - 1}

のいずれかに等しい。ただし, x_{k-1}=\frac{1}{99}のときはx_k=\frac{x_{k-1}+99}{100}とする。
(iii) \frac{49}{100} < x_{1000} < \frac{51}{100}

解答

京大理学部特色入試の数学は本当に難しく、天才しか合格できないと思います。餅田の力で何とか解けたものを紹介します。

まずx_{k-1}からx_kを作る規則を2つの関数として、その入出力をグラフで表しました。あとはこのグラフ上の移動として考えられないかと試行錯誤しました。

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